Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，過點D作⊙O的切線交BC于E，AE交⊙O于點F．
（1）證明：E是BC的中點；
（2）證明：AD•AC=AE•AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明E是BC的中點，即證EB=EC，即要證ED=EC，這個可通過證明∠CDE=∠C得到；
（2）因由相似三角形可得：AB²=AE•AF，AB²=AD•AC，故欲證AD•AC=AE•AF，只要由AB=AB得到即可．
解答：證明：（Ⅰ）證明：連接BD，
因為AB為⊙O的直徑，
所以BD⊥AC，又∠B=90°，
所以CB切⊙O于點B，且ED切于⊙O于點E，
因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
所以∠CDE=∠C，
得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中點
（Ⅱ）證明：連接BF，顯然BF是R_t△ABE斜邊上的高，
可得△ABE∽△AAFB，
于是有，即AB²=AE•AF，
同理可得AB²=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF
點評：本題主要考查了相似三角形的判定，與圓有關的比例線段．屬于基礎題．