【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個項點，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：．

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，再把已知坐標代入橢圓方程，結合隱含條件求得的值，即可求解橢圓的方程；（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長及中點坐標，得到所在的直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，求得的坐標，分別化簡和，即可證明結論．

試題解析：（1）由已知，，又橢圓過點，

故，解得，∴，

所以橢圓的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）設直線的方程為，

由方程組得，①

方程① 的判別式為，由，即，解得．

由①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以點坐標為，直線方程為．

由方程組得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，

又

．

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)預計銷售量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為Q＝ (x>1)，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品另需再投入32萬元，若每件銷售價為“年平均每件生產(chǎn)成本(生產(chǎn)成本不含廣告費)的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和．

(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；(年利潤＝銷售收入－成本)

(2)當年廣告費為多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？最大年利潤為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圍建一個面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為（單位：），修建此矩形場地圍墻的總費用為（單位：元）

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，實半軸長為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碩族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組數(shù)

分組

低碳族的人數(shù)

占本組的頻率

第一組

120

0.6

第二組

195

第三組

100

0.5

第四組

0.4

第五組

30

0.3

第六組

15

0.3

（1）補全頻率分布直方圖并求的值（直接寫結果）；

（2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊中至少有1人年齡在歲的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動圓過定點，且與直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過（1）中軌跡上的點作兩條直線分別與軌跡相交于兩點，試探究：當直線的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）證明:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點,.

(1)證明：平面；

(2)設二面角為，求與平面所成角的大小.

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