Question

己知向量a=(2sin

x

2

，1-

2

cos

x

2

)，b=(cos

x

2

，1+

2

cos

x

2

)，函數(shù)f(x)=log

1

2

（a•b）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）首先要對(duì)所給的函數(shù)式進(jìn)行整理，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積，得到有關(guān)三角函數(shù)的式子，變成最簡(jiǎn)形式，求出函數(shù)的定義域和值域，定義域是對(duì)于對(duì)數(shù)的真數(shù)的范圍要求．
（2）本題是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，解題依據(jù)是同增異減，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)是一個(gè)減函數(shù)，所以內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性同整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相反．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

•

b

=2sin

x

2

cos

x

2

+(1-

2

cos

x

2

)(1+

2

cos

x

2

)=sinx+1-2cos2

x

2

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由sin(x-

π

4

)＞0，
得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z．
∴f（x）的定義域是(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
∵0＜

2

sin(x-

π

4

)≤

2

，則f(x)≥log

1

2

2

=-

1

2

，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（Ⅱ）由題設(shè)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
若f（x）為增函數(shù)，則y=

2

sin(x-

π

4

)為減函數(shù)，
∴2kπ+

π

2

≤x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

3π

4

≤x＜2kπ+

5π

4

，
∴f（x）的遞增區(qū)間是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
若f（x）為減函數(shù)，則y=

2

sin(x-

π

4

)為增函數(shù)，
∴2kπ＜x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ+

π

4

＜x≤2kπ+

3π

4

，
∴f（x）的遞減區(qū)間是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：這是一種可以作為高考題出現(xiàn)的題目，把向量同三角函數(shù)結(jié)合起來，以向量為載體，題目中還考到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)容易出錯(cuò)，這是一道中檔題，在高考題目中的地位較高．