Question

設(shè)a為非零實數(shù)，偶函數(shù)f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，-2）上存在零點，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-m|+1=x²+|x-m|+1，
化簡整理，得mx=0在R上恒成立，
∴m=0．
（2）由已知，可得f（x）=x²+a|x|+1，
則當(dāng)a＞0時，遞增區(qū)間為（0，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0）
當(dāng)a＜0時，遞增區(qū)間為[，0]和[-，+∞）遞減區(qū)間（-∞，）和（0，）
（3）當(dāng)a＞0時，在區(qū)間（-3，-2）上f（x）＞0恒成立，不滿足要求；
當(dāng)a＜0時，若函數(shù)f（x）在（-3，-2）上只有一個零點
則f（-2）•f（-3）＜0
即（5+2a）•（10+3a）＜0
解得：＜a＜
分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，從而求出m的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可分析出的函數(shù)的圖象與性質(zhì)，進而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，-2）上存在零點，根據(jù)零點存在定理，可得f（-2）•f（-3）＜0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是偶函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的零點，（1）的關(guān)鍵是根據(jù)偶函數(shù)的定義，構(gòu)造關(guān)于m的方程，（2）的關(guān)鍵是對a進行分類討論，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)零點存在定理，構(gòu)造關(guān)于a的不等式．