Question

4．圓C滿足：①圓心C在射線y=2x（x＞0）上；    
②與x軸相切；  
③被直線y=x+2截得的線段長為$\sqrt{14}$
（1）求圓C的方程；
（2）過直線x+y+3=0上一點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為E、F，求四邊形PECF面積的最小值，并求此時(shí)$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）圓心C的坐標(biāo)為（a，2a）（a＞0），半徑為r，利用條件建立方程組，即可求圓C的方程；
（2）四邊形PECF的面積取最小值時(shí)，|PC|最小，從而可求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的值．

解答 解：（1）圓心C的坐標(biāo)為（a，2a）（a＞0），半徑為r．
則有$\left\{\begin{array}{l}{r=2a}\\{{r}^{2}=（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}+（\frac{a-2a+2}{\sqrt{2}}）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{r=2}\end{array}}\right.$…（4分）
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4…（5分）
（2）由切線的性質(zhì)知：四邊形PECF的面積S=|PE|•r=r$\sqrt{|PC{|^2}-{r^2}}$=$2\sqrt{|PC{|^2}-4}$
∴四邊形PECF的面積取最小值時(shí)，|PC|最小，…（8分）
即為圓心C（1，2）到直線x+y+3=0的距離d=3$\sqrt{2}$．
∴|PC|最小為$3\sqrt{2}$
∴四邊形PEMF的面積S的最小值為$2\sqrt{14}$…（10分）
此時(shí)|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=$\sqrt{14}$，設(shè)∠CPE=∠CPF=α，則$sinα=\frac{r}{|PC|}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（11分）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=|$\overrightarrow{PE}$|²cos2α=|$\overrightarrow{PE}$|² （1-2sin²α）=$\sqrt{14}（1-2{（\frac{{\sqrt{2}}}{3}）^2}）=\frac{{5\sqrt{14}}}{9}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．