Question

7．已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=2，a²+b²+c²=4，且a＞b＞c，不等式ln（a²+2a）-a≥M恒成立，則M的最大值是ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，由柯西不等式得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，將①②代入③可求得a的范圍，構(gòu)造函數(shù)f（a）=ln（a²+2a）-a（$\frac{2}{3}$＜a≤2），利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f（a）的最小值．

解答 解：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，
由柯西不等式，得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，
將①②代入③得，2（4-a²）≥（2-a）²，解得-$\frac{2}{3}$≤a≤2，
又a＞b＞c，∴3a＞a+b+c=2，∴a＞$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$＜a≤2．
令f（a）=ln（a²+2a）-a（$\frac{2}{3}$＜a≤2）．
則f′（a）=$\frac{（\sqrt{2}+a）（\sqrt{2}-a）}{{a}^{2}+2a}$，
當$\frac{2}{3}$＜a＜$\sqrt{2}$時f′（a）＞0，當$\sqrt{2}$＜≤2時f′（a）＜0，
∴f（$\sqrt{2}$）為極大值，也為最大值，
f（a）_min=min{f（$\frac{2}{3}$），f（2）}，
而f（$\frac{2}{3}$）=ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$，f（2）=ln8-2，
f（$\frac{2}{3}$）-f（2）=（4ln2-2ln3-$\frac{2}{3}$）-（3ln2-2）=ln$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{3}$≈-1.514+1.333＜0，
∴f（a）_min=f（$\frac{2}{3}$），
∴M≤ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．
即M的最大值為ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$，
故答案為：ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．

點評 該題考查不等式的求解、函數(shù)恒成立等知識，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，利用已知條件求解a的范圍是解決本題的關(guān)鍵所在．