Question

1．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF₁，PF₂．設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓通徑$\frac{{2{b^2}}}{a}=1$，得a=2b²，結(jié)合橢圓離心率可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出P（x₀，y₀），當(dāng)0≤x₀＜2時，分${x_0}=\sqrt{3}$和${x_0}≠\sqrt{3}$求解，當(dāng)${x_0}≠\sqrt{3}$時，設(shè)出直線PF₁，PF₂的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式可得m與k₁，k₂的關(guān)系式，
再把k₁，k₂用含有x₀，y₀的代數(shù)式表示，進(jìn)一步得到$|{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{m-\sqrt{3}}}}|=|{\frac{{\sqrt{3}{x_0}+4}}{{\sqrt{3}{x_0}-4}}}|$．再由x₀的范圍求得m的范圍；當(dāng)-2＜x₀＜0時，同理可得$-\frac{3}{2}＜m＜0$．則m的取值范圍可求．

解答 解：（Ⅰ）由于c²=a²-b²，將x=-c代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得$y=±\frac{b^2}{a}$，
由題意知$\frac{{2{b^2}}}{a}=1$，即a=2b²．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴a=2，b=1．
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），
當(dāng)0≤x₀＜2時，
①當(dāng)${x_0}=\sqrt{3}$時，直線PF₂的斜率不存在，易知$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$或$P（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$．
若$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$，則直線PF₁的方程為$x-4\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$．
由題意得$\frac{{|{m+\sqrt{3}}|}}{7}=\sqrt{3}-m$，
∵$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，∴$m=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
若$P（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$，同理可得$m=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
②當(dāng)${x_0}≠\sqrt{3}$時，
設(shè)直線PF₁，PF₂的方程分別為$y={k_1}（x+\sqrt{3}），y={k_2}（x-\sqrt{3}）$，
由題意知$\frac{{|{m{k_1}+\sqrt{3}{k_1}}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\frac{{|{m{k_2}+\sqrt{3}{k_2}}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}$，
∴$\frac{{{{（m+\sqrt{3}）}^2}}}{{{{（m-\sqrt{3}）}^2}}}=\frac{{1+\frac{1}{{k{{{\;}_1}^2}}}}}{{1+\frac{1}{{k{{{\;}_2}^2}}}}}$，
∵$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$，且${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}，{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}$，
∴$\frac{{{{（m+\sqrt{3}）}^2}}}{{{{（m-\sqrt{3}）}^2}}}=\frac{{4{{（{x_0}+\sqrt{3}）}^2}+4-{x_0}^2}}{{4{{（{x_0}-\sqrt{3}）}^2}+4-{x_0}^2}}=\frac{{3{x_0}^2+8\sqrt{3}{x_0}+16}}{{3{x_0}^2-8\sqrt{3}{x_0}+16}}=\frac{{{{（3{x_0}+4）}^2}}}{{{{（3{x_0}-4）}^2}}}$，
即$|{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{m-\sqrt{3}}}}|=|{\frac{{\sqrt{3}{x_0}+4}}{{\sqrt{3}{x_0}-4}}}|$．
∵$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，0≤x₀＜2且${x}_{0}≠\sqrt{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}+m}}{{\sqrt{3}-m}}=\frac{{4+\sqrt{3}{x_0}}}{{4-\sqrt{3}{x_0}}}$．
整理得，$m=\frac{{3{x_0}}}{4}$，
故0$≤m＜\frac{3}{2}$且m$≠\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
綜合①②可得$0≤m＜\frac{3}{2}$．
當(dāng)-2＜x₀＜0時，同理可得$-\frac{3}{2}＜m＜0$．
綜上所述，m的取值范圍是 $（-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評 本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、點(diǎn)到直線的距離公式和圓錐曲線的定義之間進(jìn)行了充分的交匯，考查運(yùn)算能力，是壓軸題．