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若曲線y=x3-2ax2+2ax上任意點處的切線的傾斜角都是銳角，求整數a的值．

解：∵曲線y=x3-2ax2+2ax，
∴該曲線上任意點處切線的斜率k=y′=3x2-4ax+2a．
又∵切線的傾斜角都是銳角，
∴k＞0恒成立，即3x2-4ax+2a＞0恒成立．
∴△=（-4a）2-4×3×2a=16a2-24a＜0，
∴0＜a＜．
又∵a∈Z，
∴a=1．
分析：求出曲線解析式y(tǒng)=x3-2ax2+2ax的導函數，即為曲線在任意點處切線的斜率，由切線得到傾斜角恒為銳角得到切線的斜率恒大于0，根據切線的斜率為關于x的二次函數，且為開口向上的拋物線，得到根的判別式小于0，列出關于a的不等式，求出不等式解集中的整數解即為a的值．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，求a的值；
（2）當a=-2時，求f（x）的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）求所有的實數a，使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

命題：
（1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，其定義域是[a-1，2a]，則f（x）在區(qū)間(-
2
3
，-
1
3
)是減函數．
（2）如果一個數列{an}的前n項和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)則此數列是等比數列的充要條件是a+c=0．
（3）曲線y=x3+x+1過點（1，3）處的切線方程為：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一個子集．則k＜1．
以上四個命題中，正確命題的序號是
（1）（2）
（1）（2）
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）求所有的實數a，使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省雅安中學高三（下）段考數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

命題：
（1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，其定義域是[a-1，2a]，則f（x）在區(qū)間是減函數．
（2）如果一個數列{an}的前n項和則此數列是等比數列的充要條件是a+c=0．
（3）曲線y=x3+x+1過點（1，3）處的切線方程為：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一個子集．則k＜1．
以上四個命題中，正確命題的序號是    ．

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