Question

為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動成績，從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測試，測試成績?nèi)�部都介�?3秒到18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）設(shè)m，n表示樣本中兩個學(xué)生的百米測試成績，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞2”的概率；
（2）根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績小于16秒為達(dá)標(biāo)．如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，則男女生達(dá)標(biāo)情況如附表：

性別 是否達(dá)標(biāo)	男	女	合計
達(dá)標(biāo)	a=24	b=
不達(dá)標(biāo)	c=	d=12
合計			n=50

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）成績在[13，14）的人數(shù)有2人，設(shè)為a，b．成績在[17，18]的人數(shù)有3人，設(shè)為A，B，C；基本事件總數(shù)為10，事件“|m-n|＞2”由6個基本事件組成．根據(jù)古典概型公式可求出所求；
（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，即可求得．

解答： 解：（1）由題意，成績在[13，14）的人數(shù)有：50×0.04=2人，設(shè)為a，b．
成績在[17，18]的人數(shù)有：50×0.06=3人，設(shè)為A，B，C．
m，n∈[13，14）時有ab一種情況．
m，n∈[17，18]時有AB，AC，BC三種情況．
m，n分別在[13，14）和[17，18]時有aA，aB，aC，bA，bB，bC六種情況．
基本事件總數(shù)為10，事件“|m-n|＞2”由6個基本事件組成．
所以P（|m-n|＞2）=

6

10

=

3

5

．（6分）
（2）依題意得到相應(yīng)的2×2列聯(lián)表如下：

性別 是否達(dá)標(biāo)	男	女	合計
達(dá)標(biāo)	a=24	b=6	30
不達(dá)標(biāo)	c=8	d=12	20
合計	32	18	n=50

K²=

50×(24×12-6×8)2

32×18×30×20

≈8.333．
由于8.333＞6.635，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”．
故可以根據(jù)男女生性別劃分達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)．（12分）

點評：本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用、頻率分布直方圖，以及古典概型的概率問題、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征等有關(guān)知識，屬于中檔題．