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6.在△ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且b2=a2+bc,A=$\frac{π}{6}$,D點在邊AC上,當線段BD的長最小,則$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$.

分析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{6}$,而b2=a2+bc,可得c=($\sqrt{3}$-1)b,a2=(2-$\sqrt{3}$)b2,利用余弦定理得出C,線段BD的長最小,BD⊥AC,則AB=2BD,CD=BD,即可得出結論.

解答 解:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{6}$=b2+c2-$\sqrt{3}$bc,
∵b2=a2+bc,
∴bc+c2-$\sqrt{3}$bc=0,
解得c=($\sqrt{3}$-1)b,
a2=b2-bc=(2-$\sqrt{3}$)b2,
∴解得:cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵c<b,
∴C為銳角,C=$\frac{π}{4}$.
當線段BD的長最小,BD⊥AC,則AB=2BD,CD=BD,
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$
故答案為:$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了余弦定理的應用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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