Question

已知函數f(x)=loga(

x2+m

+x)，(a＞0，a≠1)為奇函數，
1）求實數m的值；
2）求f（x）的反函數f^-1（x）；
3）若兩個函數F（x）與G（x）在[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數F（x）與G（x）在[p，q]上是分離的．試判斷函數f（x）的反函數f^-1（x）與g（x）=a^x在[1，2]上是否分離？若分離，求出a的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

分析：1）根據f（x）為奇函數可知f（x）+f（-x）=0，解之即可求出m的值；
2）先將x用y表示出來，然后將x與y進行互換，最后根據原函數與反函數的關系即可求反函數；
3）記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)，假設f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即h（a^x）_min＞2，然后根據函數的單調性求出h（a^x）的最小值即可．

解答：解：1）f（x）為奇函數⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=

x2+1

+x
∴（a^y-x）²=x²+1
即x=

1

2

（ay-

1

ay

）
∴f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)，x∈R
3）f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)
記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)
假設f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即　h（a^x）_min＞2．
①當a＞1時，x∈[1，2]，a^x∈[a，a²]，h（a^x）在a^x∈[a，a²]上單調遞增，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒a＞2+

3

；
②當0＜a＜1時，x∈[1，2]，a^x∈[a²，a]，h（a^x）在a^x∈[a²，a]上單調遞減，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒0＜a＜2-

3

；
故a的取值范圍是：(0，2-

3

)∪(2+

3

，+∞)．

點評：本題主要考查了對數函數圖象與性質的綜合應用，以及反函數的求解和新定義的理解，屬于中檔題．