Question

（2010•武漢模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=

1+an

3-an

(n∈N*)，且a1=0．
（1）求a₂，a₃；
（2）若存在一個(gè)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，求λ值；
（3）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)遞推關(guān)系an+1=

1+an

3-an

，以及a₁=0，可求出a₂，a₃；
（2）先假設(shè)數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，取前三項(xiàng)，根據(jù)等差中項(xiàng)可求出λ的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；
（3）根據(jù)（2）可求出數(shù)列{

1

an-1

}的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由an+1=

1+an

3-an

及a1=0知a2=

1

3

，a3=

1

2

．…（4分）
（2）由數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列知

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

得

6

1-3λ

=

1-4λ

λ(2λ-1)

∴解得λ=1
又

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1+an 3-an -1

-

1

an-1

=

3-an

2an-2

-

3

2an-2

=

-(an-1)

2(an-1)

=-

1

2

∴當(dāng)λ=1時(shí)，數(shù)列{

1

an+1-1

}為等差數(shù)列．   …（9分）
（3）由（2）可知：bn+1-bn=-

1

2

，b1=-1，bn=(-1)+(-

1

2

)(n-1)
∴

1

an-1

=-

1+n

2

∴an=

n-1

n+1

…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及通項(xiàng)公式的求解，屬于中檔題．