Question

（2013•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a為常數(shù)，e=2.718…，函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為l₁，函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=1交點(diǎn)處的切線為l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若對(duì)任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x．我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，可得方程，進(jìn)而可得a值，不等式可化為m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)h（x）在[1，5]上是減函數(shù)，從而可得m＜h（5）即可；
（Ⅱ）可得a=

1

2

，進(jìn)而可得|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)q（x）=e^x-x-1，可得e^x-1＞x    …①，構(gòu)造m（x）=lnx-x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2，還可得e^x＞lnx，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，2a+1），
又f′（x）=2ae^x，∴f′（0）=2a，
函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=1的交點(diǎn)為（2a，1），
又g′（x）=

1

x

，g′（2a）=

1

2a

由題意可知，2a=

1

2a

，即a²=

1

4

又a＞0，所以a=

1

2

…（3分）
不等式x-m＞

x

f(x)-

x

可化為m＜x-

x

f（x）+

x

即m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，則h′（x）=1-（

1

2 x

+

x

）e^x，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥

2

，
又x＞0時(shí)，e^x＞1，∴（

1

2 x

+

x

）e^x＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
即h（x）在[1，5]上是減函數(shù)
因此，在對(duì)任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，
只需m＜h（5）=5-

5

e5，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，5-

5

e5）…（8分）
（Ⅱ）證明：y=f（x）和y=g（x）公共定義域?yàn)椋?，+∞），由（Ⅰ）可知a=

1

2

，
∴|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|
令q（x）=e^x-x-1，則q′（x）=e^x-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
故q（x）＞q（0）=0，即e^x-1＞x    …①
令m（x）=lnx-x+1，則m′（x）=

1

x

-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，m′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2
又由①得e^x＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴e^x＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=e^x-lnx＞2
故函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及切線的方程，涉及新定義，屬中檔題．