在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，且橢圓C過點(diǎn)A(2，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B為橢圓C的下頂點(diǎn)，直線y=-x與橢圓相交于P，Q，求△BPQ的面積S．
分析：（1）由題意可得：
3
a=2c，并且有
4
a2
+
3
b2
=1．結(jié)合a2=b2+c2可得：a2=16，b2=4．
（2）根據(jù)題意求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的特征，把其面積化為同底的兩個(gè)三角形的面積之和，即可得到△BPQ的面積S．
解答：解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為
3
2
，
所以
3
a=2c．
又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)A(2，
3
)，
所以
4
a2
+
3
b2
=1．
由以上結(jié)合a2=b2+c2可得：a2=16，b2=4．
所以橢圓的方程為：
x2
16
+
y2
4
=1．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
聯(lián)立直線與橢圓的方程：
x2
16
+
y2
4
=1
y=-x
，解得P（
4
5
5
，-
4
5
5
），Q（-
4
5
5
，
4
5
5
），
因?yàn)辄c(diǎn)B為橢圓C的下頂點(diǎn)，
所以△BPQ的面積S=
1
2
×b×|x1-x2|=
8
5
5
．
所以△BPQ的面積S為
8
5
5
．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓與直線的位置關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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