已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r為正實數(shù)，且p+q+r=a，求證：p2+q2+r2≥3．
考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法
專題：計算題,證明題,不等式的解法及應用
分析：（1）由絕對值不等式|a|+|b|≥|a-b|，當且僅當ab≤0，取等號；
（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可證得．
解答： （1）解：∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當且僅當-1≤x≤2時，等號成立，
∴f（x）的最小值為3，即a=3；
（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實數(shù)，
∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2
=（p+q+r）2=32=9，
即p2+q2+r2≥3．
點評：本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：已知正三棱錐P-ABC，側棱PA，PB，PC的長為2，且∠APB=30°，E，F(xiàn)分別是側棱PC，PA上的動點，則△BEF的周長的最小值為（　�。�
A、8-4
3
B、2
C、2
2
D、1+2
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）證明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）設直線AA1與平面BCC1B1的距離為
3
，求二面角A1-AB-C的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀如圖所示的程序框圖，回答下列問題：
（Ⅰ）若a=sin
7π
6
，b=lnπ，c=e-
1
2
，則輸出的數(shù)是a，b，c中的哪一個？請簡要說明理由；
（Ⅱ）已知c=2，a，b∈{1，2，3，4}，且a≠b，現(xiàn)隨機輸入a，b的值一次，則輸出的a，c的概率分別是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)
.
x
和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)
.
x
，σ2近似為樣本方差s2．
（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產品件數(shù)，利用（i）的結果，求EX．
附：
150
≈12.2．
若Z-N（μ，σ2）則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差為d，a3＞0，當且僅當n=3時，|an|取到最小值，則d的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別是棱AB，A1D1上的點，PQ⊥AC，則PQ與BD1所成角的余弦值得取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．
（Ⅰ）若
PA
+
PB
+
PC
=
0
，求|
OP
|；
（Ⅱ）設
OP
=m
AB
+n
AC
（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案