Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式≥128的最小n值．

Answer 1

解：（1）因為S_n=2a_n-n，令n=1
解得a₁=1，再分別令n=2，n=3，解得a₂=3，a₃=7．
（2）因為S_n=2a_n-n，所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*
兩式相減得a_n=2a_n-1+1
所以a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N^*
又因為a₁+1=2，所以a_n+1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列
所以a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1．
（3）因為b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
所以b_n=（2n+1）•2ⁿ
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ②
①-②得：-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
所以T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
若
則
即2ⁿ⁺¹＞2⁷，解得n≥6，
所以滿足不等式的最小n值6．
分析：（1）由題設(shè)條件令n=1，2，3，解得a₁=1，a₂=3，a₃=7．
（2）由S_n=2a_n-n，得S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*，所以a_n=2a_n-1+1，由此可知a_n=2ⁿ-1．
（3）由題設(shè)可知T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，則2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ，再由錯位相減法可求出滿足不等式≥128的最小n值．
點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用和不等式的解法，解題時要認真審題，仔細解答．