Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{7}{8}$，且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$，n∈N^*．
（1）求證：{a_n-$\frac{2}{3}$}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$進(jìn)行變形處理得到：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）根據(jù){a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列來(lái)推知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：由已知得：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
因?yàn)閍₁=$\frac{7}{8}$，
所以a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$，
所以{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
所以a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
所以a_n=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1+$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造法證明等比數(shù)列．