Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-

5π

12

，

π

6

]時，求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，即可求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-

5π

12

，

π

6

]時，可得2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，利用正弦函數的性質，可求函數f（x）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
所以函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因為x∈[-

5π

12

，

π

6

]，
所以2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，
所以sin(2x-

π

6

)∈[-1，

1

2

]，
所以2sin(2x-

π

6

)∈[-2，1]，
所以函數f（x）的取值范圍為[-2，1]．…（13分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，正確化簡函數是關鍵．