Question

【題目】已知 .

（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2) 三個(gè)零點(diǎn)

【解析】

(1) 由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，再證，.

（1）由得，

由題意知恒成立，即，設(shè)，，

時(shí)，遞減，時(shí)，，遞增；

故，即，故的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，，

一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).

另一方面，，設(shè) ，則，從而

在遞增，則，即，又在遞增，所以

在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).

因此，當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn)，將這兩個(gè)零點(diǎn)記為，

，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即

；當(dāng)時(shí)，即：從而在遞增，在

遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).

下面證明：，

由得，即，由

得 ，

令，則，

①當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；

②當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；

一方面，因?yàn)?/span>，又，且在遞增，所以在

上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn).

另一方面，根據(jù)得，則有：

，

又，且在遞增，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在

上有一個(gè)零點(diǎn).

又，故有三個(gè)零點(diǎn).