已知函f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷．

解：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（1分）
證明：設(shè)x1＜x2＜0則-x1＞-x2＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（-x1）＞f（-x2）（7分）
又f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）＞f（x2）
∴f（x1）＞f-x2）
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（12分）
分析：用單調(diào)性定義來(lái)證明，先在給定區(qū)間上取兩個(gè)變量，且界定大小，不妨設(shè)x1＜x2＜0則有-x1＞-x2＞0，
再由“f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)”可得到f（-x1）＞f（-x2），然后由“f（x）是偶函數(shù)”轉(zhuǎn)化為f（x1）＞fx2），再由單調(diào)性定義判斷．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)論是：偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•寶山區(qū)二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時(shí)F（x）的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知f（x）=數(shù)學(xué)公式是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時(shí)F（x）的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則


  1. A.
    f（x）是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)
  2. B.
    f（x）是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
  3. C.
    f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
  4. D.
    f（x）既非奇函數(shù)，又非偶函

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案