Question

【題目】.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析:二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x＝1，分類討論對(duì)稱軸在區(qū)間左邊,對(duì)稱軸在區(qū)間右邊以及對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)三類討論,按照函數(shù)的單調(diào)性求出最值,當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí),再分成對(duì)稱軸在區(qū)間中點(diǎn)左邊和右邊兩類求最大值,最后寫成分段函數(shù)的形式.

試題解析:

∵對(duì)稱軸x＝1，

(1)當(dāng)1≥t＋2，即t≤－1時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.

(2)當(dāng)≤1<t＋2，即－1<t≤0時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

(3)當(dāng)t≤1<，即0<t≤1時(shí)，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

(4)當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.

設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為φ(t)時(shí)，則有

g(t)＝φ(t)＝

點(diǎn)睛:本題考查二次函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了分類討論思想,屬于中檔題.由題意二次函數(shù)的開口向上,且對(duì)稱軸為x＝1，故討論對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)t和t+2的大小關(guān)系,當(dāng)對(duì)稱軸大于等于t+2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)對(duì)稱軸小于t時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí),函數(shù)先減后增,在對(duì)稱軸處取最小值,再比較1與兩端點(diǎn)中點(diǎn)的大小,當(dāng)1大于等于中點(diǎn)時(shí),在x=t處取最大值, 當(dāng)1小于中點(diǎn)時(shí),在x=t+2處取最大值.