Question

設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=（）^x，則函數(shù)F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零點個數(shù)為（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質求得函數(shù)f（x）的解析式，本題即求函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)，數(shù)形結合可得結論．
解答：解：由于f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=（）^x ．則當x＜0時，-x＞0，f（-x）==2^x=-f（x），∴f（x）=-2^x．
∴f（x）=．
則函數(shù)F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零點個數(shù)，就是函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)，如圖所示：
結合圖象可得，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)為 5，
故選 D．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，求函數(shù)的解析式，奇函數(shù)的性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．