Question

給出下列命題：
①直線l的方向向量為

a

=（1，-1，2），直線m的方向向量為

b

=（2，1，-

1

2

）則l⊥m
②直線l的方向向量為

a

=（0，1，-1），平面α的法向量為

n

=（1，-1，-1），l?α則l⊥α．
③平面α，β的法向量分別為

n1

=（0，1，3），

n2

=（1，0，2），則α∥β．
④平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量

n

=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．
其中真命題的序號(hào)是（　　）

A．②③

B．①④

C．③④

D．①②

Answer 1

分析：①求數(shù)量積

a

•

b

，利用數(shù)量積進(jìn)行判斷．②求數(shù)量積

a

•

n

，利用數(shù)量積進(jìn)行判斷．③求利用

n1

與

n2

的關(guān)系進(jìn)行判斷．④利用法向量的定義判斷．

解答：解：①

a

?

b

=1×2-1×1-

1

2

×2=2-1-1=0，所以

a

⊥

b

，即l⊥m，所以①正確．
②

a

?

n

=0-1×1+(-1)?(-1)=0，所以

a

⊥

n

，所以l∥α，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)?span id="a33x7vq" class="MathJye">

n1

?

n2

=6≠0，且

n1

≠x

n2

，所以α與β是相交的．所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)?span id="yyxhf9p" class="MathJye">

n

=（1，u，t）是平面α的法向量，A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），所以

AB

=(-1，1，1)，

AC

=(-2，2，1)．所以

n

?

AB

=0，

n

?

AC

=0，即

-1+u+t=0 -2+2u+t=0

，解得u=1，t=0，所以u(píng)+t=1．所以④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及利用空間向量的應(yīng)用．