Question

（本小題14分）已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，記直線與的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）（），（2），（3）點(diǎn)在曲線上

【解析】

試題分析：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)，利用直接法依據(jù)斜率之積等于，求出點(diǎn)的軌跡方程，注意這個(gè)條件即可；第二步設(shè)直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出的方程，與聯(lián)立得出的坐標(biāo)，得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后寫(xiě)出斜率之積求出范圍即可；第三步由于斜率之積為，所以交點(diǎn)在曲線C上.

試題解析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則（且）

所以曲線的方程為（）.

（2）設(shè)直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，

所以直線的方程為，令，則得，直線的方程為，令，則得，∴線段的中點(diǎn)，∴

故∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為

（3）由（2）得，，，

∴ ，

∴ ∴ 點(diǎn)在曲線上.

考點(diǎn)：1.求軌跡方程；2.兩條直線的交點(diǎn)；3.取值范圍問(wèn)題；