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已知：a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )(0＜a ＜b ＜p )，

(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；

(2)若ka＋b與a－kb長度相等(其中k為非零實數)，求b －a 的值．

答案：略
解析：

(1)證法1：∵a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )，

∴(a＋b)=(cosa ＋cosb ，sina ＋sinb )，

(a－b)=(cosa －cosb ，sina －sinb )．

又(a－b)·(a－b)

=(cosa －cosb )(cosa －cosb )＋(sina ＋sinb )(sina －sinb )

∴(a＋b)⊥(a－b)．

證法2：∵a=(cosa ，sina )，b=(cosb ，sinb )，

∴，

．

∴．

∴，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

(2)解法1：∵ka＋b=(kcosa ，ksina )＋(cosb ，sinb )

=(kcosa ＋cosb ，ksina ＋sinb )，

a－kb=(cosa －kcosb ，sina －ksinb )，

∴

(注：cosa ·cosb ＋sina ·sinb =cos(a －b ))

同理可求．

又∵|ka＋b|=|a－kb|，

∴．

∴2kcos(a －b )=－2kcos(a －b )．

∵k≠0，∴cos(a －b )=0．∴cos(b －a )=0．

又∵0＜a ＜b ＜p ，∴．

解法2：∵|ka＋b|=|a－kb|，

∴

∴．

∴．

又∵∴a·b=0，

∴cosa cosb ＋sina sinb =0，∴cos(a －b )=0．

∵0＜a ＜b ＜p ，∴0＜b －a ＜p ，∴．


提示：

本題中(2)先對式子平方化簡更加簡單，在解題中要注意選擇本例中的兩種思路．

(1)利用向量垂直坐標形式的充要條件證明；

(2)利用長度公式，得出b －a 的三角函數值．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(
3
，1)，則|
a
-
b
|的最大值為（　�。�
A、1
B、
3
C、3
D、9

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a
=(cosθ，sinθ)，向量
b
=(
3
，1)，則|2
a
-
b
|的最大值和最小值分別為（　�。�

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a
={cosα，sinα}，
b
={cosβ，sinβ}，那么（　�。�

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已知向量
a
=(cosα，1)，
b
=(-2，sinα)，α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b
．
（Ⅰ）求sinα的值；  
（Ⅱ）求tan2α的值．

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已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(1，-2)，若
a
∥
b
，則代數式
2sinθ-cosθ
sinθ+cosθ
的值是
 
．

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