Question

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開口向上的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)B₁，過點(diǎn)B₁作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)A₁，過點(diǎn)A₁作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)B₂，…，過點(diǎn)作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)．

（1）求數(shù)列{ x_n }，{ y_n}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列{ a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：；

（3）設(shè)，若對于任意正整數(shù)n，不等式…≥成立，求正數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

，．（II）見解析  （III）

【解析】本試題主要是結(jié)合函數(shù)的圖像來分析數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和以及數(shù)列與不等式的關(guān)系的證明。

（1）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開口向上的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)B₁，過點(diǎn)B₁作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)A₁，過點(diǎn)A₁作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)B₂，…，過點(diǎn)作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)，按照此規(guī)律得到通項(xiàng)公式

(2) 由（1）知．所以) ．利用裂項(xiàng)求和得到結(jié)論。

（3）由于，故．

對任意正整數(shù)n，不等式成立，

即恒成立．

因此構(gòu)造函數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性得到參數(shù)的范圍。