分析:(I)由題中“*”運算的定義,得動點P(x,
)滿足
y==,得y
2=2(a
2+x
2),化簡即得所求軌跡c是焦點在y軸上的雙曲線,在第一象限內的一部分;
(II)根據(jù)題意,化簡得
d1(p)=且d
2(p)=|x-a|,假設存在兩點A
1、A
2滿足題設的條件,y
2=2(a
2+x
2)消去y得關于x的一元二次方程:(3-a)x
2+2a
2x+2a
2-a
3=0,此方程有兩個非負的實數(shù)根.由此結合根的判別式與韋達定理,建立關于a的不等式組并解之,即可得到實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵
x1*x2=(x1+x2)2+(x1-x2)2=2(x12+x22)∴當x≥0時,設P(x,y),則
y==,
∴y
2=2(a
2+x
2)(y>0)化簡得
-=1(x≥0,y>0),
所求軌跡c是實半軸長為
a、虛半軸長為a,焦點在y軸上的雙曲線,
在第一象限內的一部分(包括上頂點
(0,a))…6′
(Ⅱ)
d1(p)==,
d2(p)==|x-a|.
假設存在兩點A
1、A
2,使得
d1(Ai)=•d2(Ai)(i=1、2),即
=•|x-a|.
∴x
2+y
2=a•(x-a)
2,
又∵y
2=2(a
2+x
2),∴x
2+2(a
2+x
2)=a•(x-a)
2,
即(3-a)x
2+2a
2x+2a
2-a
3=0有兩非負實數(shù)根.…10′
∴
| △=4a4-4(a-3)•a2•(a-2)>0 | x1+x2=>0 | x1•x2=≥0 |
| |
?a>3故當a>3時,存在適合條件的兩點.…13′.
點評:本題給出新定義,求動點的軌跡方程并依此討論滿足指定條件的點的存在性.著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式和圓錐曲線的定義與性質等知識,屬于中檔題.