Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

3

）cosx+sinxcosx+

3

sin²x（x∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，B為銳角，且f（B）=

3

，AC=4

3

，D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AD，試求AD+DC的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論可得B，得出三角形為等邊三角形，再利用正弦定理即可得出．

解答： 解：（1）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x
=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)
=sin2x-

3

cos2x
=2sin(2x-

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．
又0＜B＜

π

2

，則-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，從而2B-

π

3

=

π

3

，∴B=

π

3

．
由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，
∴AD+DC=BD+DC=BC，
在△ABC中，由正弦定理，得

4 3

sin π 3

=

BC

sin∠BAC

，即BC=8sin∠BAC．
∵D是BC邊上一點(diǎn)，∴

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin∠BAC≤1，知4

3

＜BC≤8．
當(dāng)∠BAC=

π

2

，C=

π

6

時(shí)，AD+CD取得最大值8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、等邊三角形的性質(zhì)、正弦定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．