Question

己知直線l的斜率為k，它與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，則|k|=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由代入坐標(biāo)整理后得到直線的斜率與截距間的關(guān)系，由兩個(gè)向量的模相等，結(jié)合拋物線定義可求出兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的具體值，代入兩根和的關(guān)系式得到直線的斜率與截距的另一關(guān)系式，解方程組可求解k的值．
解答：解：設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
，．
由y²=4x得其焦點(diǎn)F（1，0）．
由，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，．
所以m=-k．
再由，得，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
聯(lián)立③④得．
所以=．
把m=-k代入得，解得，滿足mk=-8＜1．
所以．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是利用向量關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)的關(guān)系，同時(shí)靈活運(yùn)用了拋物線的定義，屬中高檔題．