Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=3，S_n+1=2S_n+3-n，數列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1．
（I）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（II）是否存在實數λ，使數列{b_n}為等差數列或等比數列？若存在，求出數列{b_n}的通項公式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由S_n+1=2S_n+3-n，得S_n=2S_n-1+3-（n-1）（n≥2），
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1，n≥2，
∴a_n+1-1=2（a₁-1），
∵a₁=3，∴S₂=2S₁+3-1=8，a₂=5，∴，
∵，
∴{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1．
（II）由b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1，得b₁=3，b_n+1=λb_n+2ⁿ．
b₂=3λ+2，
b₃=3λ²+2λ+4，
①若數列{b_n}為等差數列，則2b₂=b₁+b₃，得3λ²-4λ+3=0，
∵△=（-4）²-4×3×3=-20＜0，
∴關于λ的方程無實根，
∴不存在實數λ，使數列{b_n}為等差數列．
②若數列{b_n}為等比數列，則b₂²=b₁•b₃，
得（3λ+2）²=3（3λ²+2λ+4），
求得，此時b₂=6，q=2，
∴b_n=3×2^n-1，
代入b_n+1=λb_n+a_n-1檢驗，此式成立．
∴當且僅當時，數列{b_n}為等比數列，且b_n=3•2^n-1．
分析：（I）由S_n+1=2S_n+3-n，得S_n=2S_n-1+3-（n-1）（n≥2），所以a_n+1=2a_n-1，n≥2，a_n+1-1=2（a₁-1），故，由此能求出通項公式a_n．
（II）由b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1，得b₁=3，b_n+1=λb_n+2ⁿ．b₂=3λ+2，b₃=3λ²+2λ+4，若數列{b_n}為等差數列，3λ²-4λ+3=0，由于關于λ的方程無實根，故不存在實數λ，使數列{b_n}為等差數列；若數列{b_n}為等比數列，則（3λ+2）²=3（3λ²+2λ+4），求得，b_n=3×2^n-1．
點評：本題考查數列的通項公式的求法和等比關系的確定，解題時要注意構造法的合理運用和分類討論思想的合理運用．