Question

在長(zhǎng)方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁，C，C₁分別AB，A₁B₁是的中點(diǎn)（如圖1）．將此長(zhǎng)方形沿CC₁對(duì)折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如圖2），已知D，E分別是A₁B₁，CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求證：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

（1）取A₁B的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，
∵D，F(xiàn)分別為A₁B₁，A₁B的中點(diǎn)，∴DF是△A₁BB₁的中位線，

∴DF∥BB1∥CC1 且DF= 1 2 BB1= 1 2 CC1

即四邊形C₁EFD為平行四邊形，
∴EF∥C₁D
∵EF?平面A₁BE，
∴C₁D∥平面A₁BE．…（4分）
（2）依題意：平面A₁B₁C₁⊥平面A₁BBA，
∵D為A₁B₁的中點(diǎn)，且三角形A₁C₁B₁為等腰直角三角形，
∴C₁D⊥A₁B₁，由面面垂直的性質(zhì)定理得C₁D⊥平面A₁BB₁A，…（6分）
又∵C₁D∥EF，∴EF⊥平面A₁BB₁A，
∵EF?平面A₁BE，
平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．…（8分）