Question

5．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)有窮數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n）
（1）若數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，試判斷數(shù)列{b_n}是否為遞增數(shù)列？如果是，請(qǐng)加以證明；如果不是，說(shuō)明理由；
②若數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，試判斷數(shù)列{a_n}是否為遞增數(shù)列？如果是，請(qǐng)加以證明；如果不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)數(shù)列{C_n}、{D_n}滿足：C_n=（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，D_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²，求證：C_n≤D_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用遞推關(guān)系式kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n），得出（n-1）（n-1）=a₁+a₂+…+a_n-1，n×n=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n），求解即可得出a_n=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2），驗(yàn)證n=1是否滿足即可．
（2）（i）作差得出b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{n+1}-（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}{n（n+1）}$＞0，運(yùn)用數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，放縮a₁+a₂+…+a_n＜na_n，na_n+1-（a₁+a₂+…+a_n）＞n（a_n+1-a_n）＞0可得證．（ii）運(yùn)用特殊數(shù)列論證即可．
（3）作差D_n-C_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²-（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，由kb_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k，可知a_k+1=（k+1）b_k+1-kb_k，a₁=b₁，…
利用上式，將D_n-C_n展開(kāi)，將a_i用{b_n}的項(xiàng)替換，化簡(jiǎn)即可得證．

解答 解：（1）∵b_n=n，kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n），
∴1×1=a₁，
即a₁=1，
當(dāng)k=n-1時(shí)，（n-1）（n-1）=a₁+a₂+…+a_n-1（n≥2），①
當(dāng)k=n時(shí)，n×n=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n②
②-①得出a_n=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，也符合式子，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=2n-1，
（2）（i）∵數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列
∴a₁+a₂+…+a_n＜na_n，
∴na_n+1-（a₁+a₂+…+a_n）＞n（a_n+1-a_n）＞0
∵nb_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），
∴b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+++{a}_{n}}{n}$，①
可得b_n+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$，②

②-①得出：b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$
=$\frac{n{a}_{n+1}-（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}{n（n+1）}$＞0，
即b_n+1＞b_n，
∴數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，可以判斷數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．
（ii）當(dāng)數(shù)列{b_n}為1，5，6時(shí)，{a_n}為1，9，8，
所以若數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，試判斷數(shù)列{a_n}不為遞增數(shù)列．
（3）證明：D_n-C_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²-（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，
由kb_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k，可知a_k+1=（k+1）b_k+1-kb_k，a₁=b₁，…
利用上式，將D_n-C_n展開(kāi)，將a_i用{b_n}的項(xiàng)替換，得出：
D_n-C_n=（b₁-b₂）²+2（b₂-b₃）²+…+（n-1）（b_n-1-b_n）²≥0，
∴D_n≥C_n

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了數(shù)列的知識(shí)，性質(zhì)，結(jié)合不等式，放縮法求解，難度較大，考察了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，分析解決問(wèn)題的能力．