Question

如圖，矩形ABCD中，DC=

3

，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D'點(diǎn)，當(dāng)D'在平面ABC上的射影落在AE上時(shí)，四棱錐D'-ABCE的體積是

2 6 - 2

12

；當(dāng)D'在平面ABC上的射影落在AC上時(shí)，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是

2-

3

．

Answer 1

分析：求四棱錐D'-ABCE的體積，關(guān)鍵是求底面積與高，利用在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，可求高，從而體積易求；二面角D'-AE-B的平面角通過添加輔助線，尋找二面角的平面角，從而可求．

解答：解：當(dāng)D'在平面ABC上的射影落在AE上時(shí)，不妨設(shè)垂足為F，
在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，∴D/F=

2

2

∵SABCE =

3

-

1

2

∴四棱錐D'-ABCE的體積是

1

3

×(

3

-

1

2

)×

2

2

=

2 6 - 2

12

當(dāng)D'在平面ABC上的射影落在AC上時(shí)，不妨設(shè)垂足為O，，取AE得中點(diǎn)M，連接OM，則D′M⊥AE
∴∠D′MO為二面角D'-AE-B的平面角．
在△OMD′中，OM=

2

-

6

2

， D/M=

2

2

，
∴cos∠OMD/=2-

3

故答案為

2 6 - 2

12

， 2-

3

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題，主要考查二面角的計(jì)算，考查幾何體的體積，關(guān)鍵是正確得出二面角的平面角，有一定的綜合性．