Question

【題目】已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＞0時(shí)有2f（x）+xf′（x）＞x2 ， 則不等式（x+2014）2f（x+2014）+4f（﹣2）＜0的解集為（ ）
A.（﹣∞，﹣2012）
B.（﹣2016，﹣2012）
C.（﹣∞，﹣2016）
D.（﹣2016，0）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2 ， （x＞0）； 得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
則當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴F（x）=x2f（x）為奇函數(shù)，
∴F（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F(xiàn)（﹣2）=4f（﹣2）；
即不等式等價(jià)為F（x+2014）+F（﹣2）＜0；
即F（x+2014）＜﹣F（﹣2）=F（2），
∴x+2014＜2，∴x＜﹣2012；
∴原不等式的解集是（﹣∞，﹣2012）．
故選：A．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．