Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x+a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=x²（x+a），令a=1，我們可以以求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而分析出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出f（x）的極值；
（Ⅱ）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x²（x+a），我們求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，由a≠0可知我們要分a＞0和a＜0兩種情況進(jìn)行分類討論，分別確定出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f（x）=x²（x+1）=x³+x²f'（x）=3x²+2x…（1分）
令3x²+2x=0則x1=0，x2=-

2

3

…（2分）

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，0)	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（4分）∴當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f(x)極大值=f(-

2

3

)=

4

27

…（5分）
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_極小值=f（0）=0…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²∴f'（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）…（7分）
①當(dāng)a＜0時(shí)，-

2a

3

＞0
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜0或x＞-

2a

3

…（8分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得0＜x＜-

2a

3

…（9分）∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），(-

2a

3

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，-

2a

3

)．…（10分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，-

2a

3

＜0
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜-

2a

3

或x＞0…（11分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得-

2a

3

＜x＜0…（12分）∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

2a

3

)，（0，+∞）．單調(diào)減區(qū)間為(-

2a

3

，0)．…（13分）
綜上可知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），(-

2a

3

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，-

2a

3

)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

2a

3

)，（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為(-

2a

3

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中解答的關(guān)鍵的根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，并判斷其符號(hào)．