Question

【題目】已知不等式（，且）對任意實數恒成立，則的最大值為____________.

Answer 1

【答案】.

【解析】

令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，利用導數可得當x＝m+3（m+3＞0）時，f（x）有最小值，則f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，即n﹣3≤m+4﹣（m+3）ln（m+3），≤，令g（x）＝，利用導數求其最大值得答案．

解：令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，

則f′（x）＝1﹣（x＞0），

若m+3＜0，則f′（x）＞0，f（x）單調遞增，由當x→0時，f（x）→﹣∞，不合題意；

∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，

當x∈（0，m+3）時，f′（x）＜0，當x∈（m+3，+∞）時，f′（x）＞0，

∴當x＝m+3時，f（x）有最小值，則f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，

即n﹣3≤m+4﹣（m+3）ln（m+3），

≤，

令g（x）＝，

則g′（x）＝．

當x∈（﹣3，﹣1）時，g′（x）＞0，當x∈（﹣1，+∞）時，g′（x）＜0，

∴當x＝﹣1時，g（x）有最大值為﹣ln2．

即的最大值為﹣ln2．

故答案為：.