Question

3．函數(shù)f（x）=（-x²+2x）e^x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）f′（x）=（-x²+2x）′•e^x+（-x²+2x）•（e^x）′
=e^x（-x²+2），
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），減區(qū)間：（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）在[-1，$\sqrt{2}$）遞增，在（$\sqrt{2}$，2]遞減，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（$\sqrt{2}$）=（2$\sqrt{2}$-2）${e}^{\sqrt{2}}$，
f（x）_最小值=f（-1）=-$\frac{3}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．