Question

已知橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）.

（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；

（3）對于橢圓上的點(diǎn)Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點(diǎn)、滿足,寫出求作點(diǎn)、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)采用聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式來證明。

(3)

【解析】

試題分析：(1) ; () 由方程組

,消y得方,因為直線交圓于、兩點(diǎn),所以D>0,即,設(shè)C(x₁ ,y₁ )、D(x₂ ,y₂ , D中點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀ ,y₀ ),則,由方組,消y得方(k₂ -k₁ )xp,又因為,所以,故E為CD的中點(diǎn);

(3) 作點(diǎn)P₁、P₂的步驟:°求出PQ的中點(diǎn),2°求出直線OE的斜率,3由知E為CD的中點(diǎn),根據(jù)()可得CD的斜率,4°從而得直線CD的方程:, 5°將直線CD與圓

Γ的方程聯(lián)立,方程組的解即為點(diǎn)P₁ P₂的坐標(biāo).

使P₁、P₂存在,必須點(diǎn)在橢圓內(nèi),所以,化簡得,,又0<q <p,即,所以,故q 的取值范圍是.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提是要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識有相當(dāng)熟練的把握。