Question

已知圓C：x²＋y²＋x－6y＋m＝0與直線l：x＋2y－3＝0.

(1)若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；

(2)若直線l與圓C相交于P，Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數(shù)m的值

Answer 1

解：(1)將圓的方程配方，

得(x＋)²＋(y－3)²＝.

故有>0，解得m<.                                

將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立得

消去y，得x²＋()²＋x－6×＋m＝0，

整理得5x²＋10x＋4m－27＝0.①

∵直線l與圓C沒有公共點，

∴方程①無解，故有Δ＝10²－4×5(4m－27)<0，解得m>8.

∴m的取值范圍是(8，)．                               

(2)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由OP⊥OQ，

得O·O＝0，即x₁·x₂＋y₁·y₂＝0.②

由(1)及根與系數(shù)的關系得

x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝.③

又∵點P，Q在直線x＋2y－3＝0上，

∴y₁·y₂＝·＝[9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]．

將③代入上式，得y₁·y₂＝.④

將③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂＝＋＝0，解得m＝3.

代入方程①檢驗得Δ>0成立，∴m＝3.