已知雙曲線C：2x2－y2＝2與點(diǎn)P(1,2)．求過點(diǎn)P(1,2)的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；

 

【答案】

當(dāng)k＝±或k＝或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)．

【解析】本試題主要是考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。根據(jù)已知中的曲線方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立方程組，進(jìn)而結(jié)合方程有一個(gè)解，得到參數(shù)k的范圍和參數(shù)k的值。

解：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，

代入雙曲線C的方程，整理得

(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*)

當(dāng)2－k2＝0，即k＝±時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)．

②當(dāng)2－k2≠0時(shí)，令Δ＝0，得k＝.此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)．

又點(diǎn)(1,2)與雙曲線的右頂點(diǎn)(1,0)在直線x＝1上，而x＝1為雙曲線的一條切線．

∴當(dāng)k不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)k＝±或k＝或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：2x2-y2=2與點(diǎn)P（1，2）
（1）求過P（1，2）點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：2x2-y2=1．
（1）設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)，若|MF|=2
2
，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過C的左焦點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設(shè)斜率為k（|k|＜
2
）的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)

(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn).

(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線C：2x2-y2=2與點(diǎn)P（1，2）
（1）求過P（1，2）點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在．

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