Question

已知函數(shù)f（x）=2^x
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=g（x），求函數(shù)y=g（x²-2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求滿足不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（x）=2^x，得y=g（x）=log₂x，則y=g（x²-2x-3）=log₂（x²-2x-3），
由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)y=g（x²-2x-3）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞），
因?yàn)閥=log₂u單調(diào)遞增，u=x²-2x-3在（3+∞）上遞增，
所以y=log₂（x²-2x-3）的遞增區(qū)間為（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

，即2|x+1|-|x-1|≥2

2

，
所以|x+1|-|x-1|≥

3

2

，
①當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式可化為-（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即-2≥

3

2

，無解；
②當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，不等式可化為（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即2x≥

3

2

，解得x≥

3

4

，
所以

3

4

≤x≤1；
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為（x+1）-（x-1）≥

3

2

，即2≥

3

2

，
所以x＞1；
綜上，x≥

3

4

，即不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范圍為x≥

3

4

．