設(shè)
a
，
b
是兩個(gè)非零向量，如果（
a
+3
b
）⊥（7
a
-5
b
），且（
a
-4
b
）⊥（7
a
-2
b
），則
a
與
b
的夾角為
π
3
π
3
．
分析：由已知可得：7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0，并且 7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0，整理可得
b
2=-2
a
•
b
，將
b
2=-2
a
•
b
代回原式可得
a
2=-2
a
•
b
，即可得到
a
2 =
b
2，即|
a
|=|
b
|，再
根據(jù)向量的夾角公式可求答案．
解答：解：因?yàn)?(
a
+3
b
)⊥(7
a
-5
b
)，
所以 7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0，
因?yàn)?(
a
-4
b
)⊥(7
a
-2
b
)，
所以 7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0，
兩式相減得 46
a
•
b
-23
b
2=0，
所以 
b
2=2
a
•
b
，
將
b
2=2
a
•
b
代回第一個(gè)式子可得：
a
2=2
a
•
b
，
所以
a
2 =
b
2，即|
a
|=|
b
|．
設(shè)向量
a
與
b
的夾角為θ，則 cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，
所以向量
a
與
b
的夾角大小為
π
3
．
故答案為：
π
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若
a
⊥
b
?
a
•
b
=0的應(yīng)用，即若知道向量垂直，則可得向量的數(shù)量積為0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•東城區(qū)模擬）設(shè)
a
，
b
是兩個(gè)非零向量，則“向量
a
，
b
的夾角為銳角”是“函數(shù)f（x）=（x
a
+
b
）•（
a
-x
b
）的圖象是一條開口向下的拋物線”的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

設(shè)數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式是兩個(gè)非零向量，則“向量數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式的夾角為銳角”是“函數(shù)f（x）=（x數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式）•（數(shù)學(xué)公式-x數(shù)學(xué)公式）的圖象是一條開口向下的拋物線”的


  1. A.
    充分而不必要條件
  2. B.
    必要而不充分條件
  3. C.
    充要條件
  4. D.
    既不充分又不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

設(shè)a、b是兩個(gè)向量，對(duì)不等式0≤|a+b|≤|a|+|b|給出下列四個(gè)結(jié)論：
①不等式左端的不等號(hào)“≤”只能在a＝b＝0時(shí)取等號(hào)“＝”；
②不等式左端的不等號(hào)“≤”只能在a與b不共線時(shí)取不等號(hào)“＜”；
③不等式右端的不等號(hào)“≤”只能在a與b均非零且同向共線時(shí)取等號(hào)“＝”；
④不等式右端的不等號(hào)“≤”只能在a與b不共線時(shí)取不等號(hào)“＜”．

其中正確的結(jié)論有


  1. A.
    0個(gè)
  2. B.
    1個(gè)
  3. C.
    2個(gè)
  4. D.
    4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：東城區(qū)模擬 題型：單選題

設(shè)
a
，
b
是兩個(gè)非零向量，則“向量
a
，
b
的夾角為銳角”是“函數(shù)f（x）=（x
a
+
b
）•（
a
-x
b
）的圖象是一條開口向下的拋物線”的（　�。�
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京市東城區(qū)普通校高三（下）3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則“向量，的夾角為銳角”是“函數(shù)f（x）=（x+）•（-x）的圖象是一條開口向下的拋物線”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件

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