Question

13．對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，若函數(shù)f（x）=2^x，試比較 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$與f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，以及指數(shù)的去處法則即可得到結(jié)論

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2^x，
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
即$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值大小比較，利用基本不等式的性質(zhì)以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．