Question

已知．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若，試比較f（a）-f（-a）與f（2a）-f（-2a）的大�。�

Answer 1

解：（1）由得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+1）．
（2）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
且f（-x）=lg=-lg=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)1＞x₂＞x₁＞-1，
則-=（-1+）-（-1+）
=2×＜0，
∴0＜＜，
∴l(xiāng)g＜lg，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
由（2）知函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，
∴f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），
∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，2a＞a，則f（2a）＜f（a），
∴f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；
當(dāng)a=0時(shí)，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；
當(dāng)-＜a＜0時(shí)，2a＜a，f（2a）＞f（a），所以f（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．
綜上，當(dāng)0＜a＜時(shí)，f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；當(dāng)a=0時(shí)，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；當(dāng)-＜a＜0時(shí)，（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．
分析：（1）；令即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用奇函數(shù)的定義即可作出正確判斷；
（3）設(shè)1＞x₂＞x₁＞-1，通過(guò)作差可判斷與的大小，從而得f（x₂）與f（x₁）的大小，可得f（x）的單調(diào)性，由（2）函數(shù)f（x）的奇偶性，f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），按0＜a＜時(shí)，a=0，-＜a＜0三種情況討論，由單調(diào)性即可作出其大小比較；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的求解、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，屬中檔題．