Question

（2010•桂林二模）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
桂林某學(xué)校從參加高三年級(jí)第二次模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出100名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成五段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]后得到如右部分頻率分布直方圖，分析圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[90，110）內(nèi)的頻率和學(xué)生數(shù)，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（Ⅱ）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)段[90，150]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人給予助學(xué)金獎(jiǎng)勵(lì)，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱90，110）內(nèi)每人獎(jiǎng)勵(lì)100元，在[100，130）內(nèi)每人獎(jiǎng)勵(lì)200元，在[130，150）內(nèi)每人獎(jiǎng)勵(lì)300元，用ξ表示抽取結(jié)束后總的獎(jiǎng)勵(lì)金額，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所求的頻率的和為1可求出分?jǐn)?shù)在[90，110）內(nèi)的頻率，該頻率乘以樣本容量，可求頻數(shù)，即為分?jǐn)?shù)在[90，110）內(nèi)的學(xué)生數(shù)，然后計(jì)算出在[90，110）的高，補(bǔ)全圖形即可；
（II）先分別求出成績(jī)?cè)赱90，110）、[110，130）、[130，150）內(nèi)的人數(shù)，ξ的可能取值為200，300，400，500，600，然后根據(jù)古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）設(shè)分?jǐn)?shù)在[90，110）內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖有
∵1-（0.005+0.01+0.02+0.005）×20=0.2
∴x=0.2，100×0.2=20人，

0.2

20

=0.01
∴分?jǐn)?shù)在[90，110）內(nèi)的頻率為0.2，學(xué)生數(shù)為20人
所以頻率分布直方圖如右圖所示．
（II）由圖知成績(jī)?cè)赱90，110）內(nèi)有100×0.01×20=20人，在[110，130）內(nèi)有100×0.02×20=40人，
在[130，150）內(nèi)有100×0.005×20=10人，共有70人
ξ的可能取值為200，300，400，500，600
則P（ξ=200）=

C 2 20

C 2 70

=

38

483

，P（ξ=300）=

C 1 20 C 1 40

C 2 70

=

160

483

P（ξ=400）=

C 1 20 C 1 10 + C 2 40

C 2 70

=

196

483

P（ξ=500）=

C 1 10 C 1 40

C 2 70

=

80

483

P（ξ=600）=

C 2 10

C 2 70

=

9

483

∴ξ的分布列為

ξ	200	300	400	500	600
P	38 483	160 483	196 483	80 483	9 483

∴Eξ=200×

38

483

+300×

160

483

+400×

196

483

+500×

80

483

+600×

9

483

=360
答：所求的數(shù)學(xué)期望為360元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．