Question

19．已知（x²+x-a）⁷的展開式中，x³的系數(shù)是-784，則a的值是1．

Answer 1

分析 先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r、r′的值，利用x³的系數(shù)是-784，求出a的值．

解答 解：式子（x²+x-a）⁷ =[（x²+x）-a]⁷的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（x²+x）^7-r•（-a）^r，
對(duì)于（x²+x）^7-r，它的通項(xiàng)公式為T_r′+1=${C}_{7-r}^{r′}$•x^14-2r-r′，
其中，0≤r′≤7-r，0≤r≤7，r、r′都是自然數(shù)．
令14-2r-r′=3，可得r=4、r′=3，或r=5、r′=1，
故x³項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{7}^{4}$（-a）⁴+${C}_{7}^{5}$（-a）⁵•${C}_{2}^{1}$=-784，
∴a=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．