Question

設函數(shù)f(x)＝x－xlnx，數(shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an＋1＝f(an)．求證：

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；

(2)an＜an＋1＜1.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，當x∈(0，1)時，f′(x)＝－lnx＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)．

(2)(用數(shù)學歸納法)①當n＝1時，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.

由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)，且f(1)＝1，得f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立．

②假設當n＝k(k∈N*)時，ak＜ak＋1＜1成立，

即0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

那么當n＝k＋1時，由f(x)在區(qū)間(0，1]上是增函數(shù)，得0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

得f(ak)＜f(ak＋1)＜f(1)，而an＋1＝f(an)，則ak＋1＝f(ak)，ak＋2＝f(ak＋1)，即ak＋1＜ak＋2＜1，也就是說當n＝k＋1時，an＜an＋1＜1也成立．

由①②可得對任意的正整數(shù)n，an＜an＋1＜1恒成立．