由舊知引新知,溫故而知新,推陳出新,這便是數(shù)學(xué)中的類比.平面幾何中的許多內(nèi)容可以通過類比推廣到空間,這里首先就要將平面直角坐標(biāo)系推廣到空間直角坐標(biāo)系.你已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何初步的一些知識(shí),你能舉出一些由平面幾何探究空間問題的例子、思想或方法嗎?
在平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式為P1P2=,我們就可猜想空間中兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的距離公式為P1P2=面上的直線和空間中的平面都比所在空間少一個(gè)維數(shù),具有相似性.平面上直線方程的一般式是Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為0),于是可以猜想空間中平面方程的一般式是Ax+By+Cz+D=0(A、B、C不同時(shí)為0).平面上直線在各軸截距不為0時(shí)其方程的截距式為=1,于是可以猜想空間中平面在各軸截距不為0時(shí)其方程的截距式為=1.平面里單位圓的方程為x2+y2=1,猜想空間里單位球面的方程為x2+y2+z2=1,平面里兩圓的位置關(guān)系判斷,可類比到空間里兩球的位置關(guān)系的判斷等等. |
類比是數(shù)學(xué)重要的思想方法,在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中起了舉足輕重的作用.注意在類比的過程中首先要找到可類比的對(duì)象,仔細(xì)分析其相同點(diǎn)和不同點(diǎn),同時(shí)發(fā)揮想象力,合理猜想不同對(duì)象可能會(huì)具有的相似的性質(zhì),最后要對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的證明,這才成為一個(gè)完整的過程.例如對(duì)于平面上的點(diǎn)和空間中的點(diǎn)就是可類比的對(duì)象,平面里的直線與空間里的平面,平面三角形與空間里三棱錐的類比.平面里的圓類比空間里的球等等.?dāng)?shù)學(xué)中的很多著名定理都是通過類比來(lái)發(fā)現(xiàn)的. |
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