Question

10．定義：稱$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{n+2}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n=n（n+2），由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{n+2}$，
∴根據(jù)題意得數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為：S_n=n（n+2），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n-2）=2n+1，
n=1時(shí)，a₁=S₁=3適合上式，
∴a_n=2n+1．
（2）由（1）得C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
∴${S}_{n}=\frac{3}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+$$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，①
3S_n=$\frac{3}{1}+\frac{5}{3}+\frac{7}{{3}^{2}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n-2}}+\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，②
②-①，得：2S_n=3+$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=$4-\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．