Question

．（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，已知點，，直線與的斜率之積為.

（I）求動點軌跡的方程;

（II）過點的直線交曲線于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直線過定點.

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓位置關(guān)系的運用。利用橢圓的幾何性質(zhì)，來表示得到a,b,c的值，從而解得方程，然后設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，借助于韋達定理，運用代數(shù)的方法來表示坐標(biāo)，同時借助于題目中向量的關(guān)系式，得到坐標(biāo)的關(guān)系，消去坐標(biāo)，得參數(shù)的關(guān)系式，進而求解得到。

解一：（1）由題知： …………2分

 化簡得：……………………………4分

（2）設(shè)，:，

代入整理得…………6分

，，………………………………8分

的方程為

令，

得………10分

直線過定點.………………12分

解二：設(shè)，:，

 代入整理得…………6分

,，…………8分

的方程為

令，

得……10分

直線過定點.…………12分

解三：由對稱性可知，若過定點，則定點一定在軸上，

設(shè)，:，

 代入整理得…………6分

,，…………8分

      設(shè)過定點，則，而

      則

…………10分

直線過定點.…………12分